52 MEMORIAL ARTILLERíA, nº 167/2 - Diciembre de 2011 de Luego las asíntotas son, y =- 1.59067x + 1.11158 1 y = 1.25733x + 2.55509 2 Para comprobar que estas son las ecuaciones de las asíntotas, sólo hay que calcular dos puntos arbi-trarios en la ecuación de la hipér-bola, (1000, –1589.56) y (1000, 1259.89) Y si hacemos lo propio en las ecuaciones de las asíntotas obtene-mos los puntos, (1000, –1589.07) y (1000, 1259.88) Como se ve la hipérbola tiende a su asíntota. Ahora calculemos las asíntotas de esta otra hipérbola para comple-tar el método. 5 x - xy · - 3 y + 9 x + 11 y - 8 = 0 - - + = m m m m n n 3 5 0 1.46837 1.13504 0.91573 2.75093 2 2 2 1 2 1 2 =- = = = Las asíntotas de esta segunda hipérbola son: y =- 1.46837x + 0.91573 3 y = 1.13504x + 2.75093 4 Ya sólo queda resolver los 4 sis-temas de ecuaciones lineales que resultan de las 4 asíntotas 13, 14, 23 y 24, por ejemplo re-solviendo 13 nos da fácilmente la intersección de las dos hipérbolas en el punto x = 1.60139 y =- 1.43570 focos, realizamos la traslación y la rotación necesaria para obtener la ecuación general de la hipérbola re-ferida al sistema UTM, obteniendo, por fin, Ax 2Bxy Cy Dx Ey F 0 2 2 + + + + + = Todo este proceso se ha descrito en la primera parte de este artículo, por lo que nos centraremos en las ecuaciones de las asíntotas de esta hipérbola: y = m1x + n1 y mx n 2 2 = + Sin entrar en profundidades teóricas, obtenemos las asíntotas de esta hipérbola resolviendo la si-guiente ecuación de 2.º grado que sirve para calcular la pendiente m de cada una de ellas, Cm 2Bm A 0 2+ + = Y el término independiente n, + =-D E·m + n B C·m ...en vez de utilizar un sistema de ecuaciones no lineal, como supone la resolución de un sistema con las ecuaciones de las hipérbolas, resolveremos un sistema de ecuaciones lineal utilizando las asíntotas de las hipérbolas Con un ejemplo se resuelven to-das las dudas, sea la hipérbola: 6x xy 3y 8x 11y 10 0 2 - - 2 + + - = Sustituyendo - - + = 3m m 6 0 1.59067 1.25733 1.11158 2.55509 m m n n 2 1 2 1 2 =- = = =
MEMORIAL ARTILLERIA DIC 2011
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