como en costes, que supone su aplicación en la resolución de problemas complejos ya que reduce considerablemente la necesidad de ensayos con modelos y prototipos y permite comparar fácilmente distintas alternativas de diseño para llegar a una solución óptima. Antes de la popularización de este método era necesario diseñar varios prototipos y realizar numerosos ensayos para ir incorporando mejoras en el diseño de forma iterativa. ¿Cuál es el proceso de resolución de un problema en ingeniería? Para resolver un problema en ingeniería, el primer paso es plantear un modelo físico que reproduzca las características principales del problema bajo estudio. Un buen modelo físico consiste en un conjunto de relaciones empleado para representar y estudiar de una manera manejable y comprensible, pero no simplifi cada, un fenómeno del mundo real. El siguiente paso es plantear el modelo matemático correspondiente, que consiste en la descripción de los rasgos o propiedades del fenómeno anterior mediante lenguaje matemático (generalmente mediante ecuaciones diferenciales), con el objetivo de obtener información cuantitativa y cualitativa del fenómeno. Generalmente las magnitudes físicas que se calculan en este tipo de problemas son los desplazamientos sufridos por la estructura, la temperatura a la que se encuentra, etc. Por tanto, el proceso de resolución de un problema puede describirse con el diagrama siguiente: Diagrama de resolución de un problema en ingeniería 12 Armas y Cuerpos Nº 129 ¿En qué consiste el método de elementos fi nitos? La idea general del método de los elementos fi nitos es la división de la estructura (o dominio sobre el que se encuentra defi nido el modelo matemático) en un conjunto de subdominios más pequeños, denominados elementos fi nitos, interconectados por una serie de puntos llamados nodos, construyendo así una partición de la estructura o dominio, una discretización. Es en los nodos de esta discretización donde se intentará aproximar la solución del problema. Las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento del problema en la estructura completa (y que tienen un número infi nito de incógnitas o grados de libertad) se transforman de este modo en un sistema de ecuaciones algebraicas con un número de incógnitas fi nito, aunque generalmente enorme. En efecto, mediante el planteamiento de la ecuación diferencial de partida sobre cada uno de los elementos fi nitos de la discretización, se obtienen fórmulas que relacionan el comportamiento en el interior de los mismos con el valor tomado por las incógnitas en los nodos (mediante funciones de interpolación). A través de este proceso de discretización, el método obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas que aproxima la solución real del problema y que resulta mucho más sencillo de resolver. Para la resolución concreta del enorme sistema de ecuaciones algebraicas en general se usan métodos convencionales de álgebra lineal en espacios de dimensión fi nita. Un ejemplo sencillo de un fenómeno físico resuelto por el método de elementos fi nitos es el cálculo de la temperatura de una placa de metal sometida a una fuente de calor en uno de sus laterales. En este caso, la ecuación a resolver es la conocida “ecuación del calor”, que se estudia en la asignatura Matemáticas III del 2º curso del Grado de Ingeniería de Organización Industrial impartido en la Academia General Militar. Las ecuaciones diferenciales que se resuelven son:
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